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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Regla de L'Hopital

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4.15. Analizar en que ítems se puede usarse la regla de L'Hopital. Resolver cada límite con el método adecuado.
e) lim⁡x→0[x⋅ln⁡(sin⁡(x))]\lim _{x \rightarrow 0}[x \cdot \ln (\sin (x))]

Respuesta

Queremos resolver este límite: lim⁡x→0x⋅ln⁡(sin⁡(x))\lim _{x \rightarrow 0}x \cdot \ln (\sin (x))

En este caso estamos frente a una indeterminación de tipo "cero x infinito". La clave en este tipo de indeterminaciones va a estar en reescribirlas para poder aplicar L'Hopital. Fijate que: x=11xx = \frac{1}{\frac{1}{x}}, no? Entonces mirá... 

lim⁡x→0x⋅ln⁡(sin⁡(x))=lim⁡x→0ln⁡(sin⁡(x))1x\lim _{x \rightarrow 0}x \cdot \ln (\sin (x)) = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{x}}

Hasta ahora lo único que hicimos fue reescribir la expresión. Pero lo bueno de tenerla escrita así, es que ahora cuando xx tiende a 00... lo de arriba tiende a infinito, y lo de abajo también! Tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", entonces ahora sí podemos aplicar L'Hopital =) Se entiende? Si aplicamos L'Hopital nos queda:

lim⁡x→01sin⁡(x)cos⁡(x)−1x2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{\sin(x)} \cos(x)}{-\frac{1}{x^2}}

Reacomodamos un poco:

lim⁡x→0−x2cos⁡(x)sin⁡(x)=lim⁡x→0[−x2sin⁡(x)]⋅cos⁡(x) \lim _{x \rightarrow 0} -x^2 \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \lim _{x \rightarrow 0} [\frac{-x^2}{\sin(x)}] \cdot \cos(x)

Fijate que cos⁡(0)=1\cos(0) = 1, esa parte no tiene problema, donde está el tema es en la partecita que a propósito te puse entre corchetes, ahí tenemos una indeterminación de tipo "cero sobre cero". 

Cálculo auxiliar: Nos fijamos a donde tiende lim⁡x→0−x2sin⁡(x)\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-x^2}{\sin(x)} aplicando L'Hopital lim⁡x→0−2xcos⁡(x)=0\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2x}{\cos(x)} = 0 Ahora que ya sabemos que la parte entre corchetes tiende a cero, volvemos y... lim⁡x→0[−x2sin⁡(x)]⋅cos⁡(x)=0\lim _{x \rightarrow 0} [\frac{-x^2}{\sin(x)}] \cdot \cos(x) = 0

Por lo tanto, lim⁡x→0x⋅ln⁡(sin⁡(x))=0\lim _{x \rightarrow 0}x \cdot \ln (\sin (x)) = 0
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